Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + 2\) với \(a \ne 0\), có đồ thị là \(\left( P \right)\). Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:

a) Đúng: \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {1;0} \right)\) và \(N\left( { - 1;0} \right)\) nên ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + 2 = 0\\a - b + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow a + 2024b =  - 2\).

b) Sai: \(\left( P \right)\) có trục đối xứng là \(x = 1 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow 2a + b = 0\;\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(E\left( { - 1;5} \right)\) nên \(a - b + 2 = 5 \Leftrightarrow a - b = 3\;\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)\) suy ra \(a = 1,\;b =  - 2\). Do đó \(2a + b = 0\).

c) Sai: \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(F\left( { - 1;6} \right)\) nên \(a - b + 2 = 6 \Leftrightarrow a - b = 4 \Leftrightarrow a = b + 4\;\left( 3 \right)\)

Lại có \(\left( P \right)\) có tung độ đỉnh bằng \( - \frac{1}{4}\) nên

\( - \frac{\Delta }{{4a}} =  - \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {b^2} - 8a = a \Rightarrow {b^2} - 9a = 0\;\left( 4 \right)\)

Thay \(\left( 3 \right)\) vào \(\left( 4 \right)\) được \({b^2} - 9\left( {b + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 9b - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 3 \Rightarrow a = 1\\b = 12 \Rightarrow a = 16\end{array} \right.\)

Suy ra \(ab =  - 3\) hoặc \(ab = 192\).

d) Đúng: Vì \(\left( P \right)\) có đỉnh là điểm \(S\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)\) nên hoành độ đỉnh \(x =  - 1 =  - \frac{b}{{2a}} \Rightarrow 2a - b = 0\;\left( 5 \right)\)

Lại có \(\left( P \right)\) đi qua \(S\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)\) nên \(a - b + 2 =  - \frac{3}{2} \Leftrightarrow a - b =  - \frac{7}{2}\;\left( 6 \right)\)

Từ \(\left( 5 \right),\;\left( 6 \right)\) ta được \(a = \frac{7}{2},\;b = 7 \Rightarrow 2a + b = 14\).