Cho hàm số y = (ax + b)/(cx + d) có đồ thị (C) như hình vẽ dưới đây:

Dựa vào hình vẽ, ta xác định được các yếu tố sau:
Tiệm cận đứng \(x = 1 \Rightarrow - \frac{d}{c} = 1 \Rightarrow d = - c\) và tiệm cận ngang:\(y = 2 \Rightarrow \frac{a}{c} = 2 \Rightarrow a = 2c.\)
Giao điểm với trục hoành: Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( { - 1;0} \right)\).
Thay vào hàm số: \(0 = \frac{{a\left( { - 1} \right) + b}}{{c\left( { - 1} \right) + d}} \Rightarrow - a + b = 0 \Rightarrow b = a = 2c.\)
Từ đó ta có được hàm số \(f\left( x \right)\)theo biến \(c:\,f\left( x \right) = \frac{{2cx + 2c}}{{cx - c}} = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}}\)
Xét mệnh đề a)
Cách 1: Ta có: \(bc - ad = 2.1 - 2.\left( { - 1} \right) = 2 + 2 = 4 > 0\)nên mệnh đề a) sai
Cách 2 : Đồ thị hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nên:
\(y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} < 0 \Rightarrow ad - bc < 0 \Rightarrow bc - ad > 0\)
Xét mệnh đề b)
Tâm đối xứng \(I\)là giao điểm của hai đường tiệm cận nên \(I\left( {1;2} \right)\)
Khoảng cách \(OI = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Thay \(x = 2\)vào hàm số: \(f\left( 2 \right) = \frac{{2.2 + 2}}{{2 - 1}} = \frac{6}{1} = 6\)nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Cách 1: Dùng bất đẳng thức Cauchy
Ta có: \(g\left( x \right) = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}} + x = \frac{{2\left( {x - 1} \right) + 4}}{{x - 1}} + x = 2 + \frac{4}{{x - 1}} + x = \left( {x - 1} \right) + \frac{4}{{x - 1}} + 3\)
Với \(\left( {x > 1} \right)\)áp dụng Cô-si cho hai số dương ta có \(\left( {x - 1} \right) + \frac{4}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right) \cdot \frac{4}{{x - 1}}} = 2\sqrt 4 = 4\)
Suy ra \(g\left( x \right) \ge 4 + 3 = 7.\)
Dấu xảy ra khi \(x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3 \in \left( {1; + \infty } \right)\) nên mệnh đề d) đúng
Cách 2: Dùng đạo hàm
Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}} \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right) + x = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}} + x = g(x) = \frac{{2x + 2 + x(x - 1)}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{x - 1}}\)
Suy ra: \(g'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1\left( l \right)}\\{x = 3\left( n \right)}\end{array}} \right.\)
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên thì hàm số \(g\left( x \right)\)đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 3 \Rightarrow g\left( 3 \right) = \frac{{{3^2} + 3 + 2}}{{3 - 1}} = 7\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right)\)trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) bằng 7 nên mệnh đề d) đúng