Cho hàm số y = (ax + b) - 1/(x + c) có đồ thị như hình vẽ:

Xét mệnh đề a)
Từ đồ thị ta có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\)
Tiệm cận xiên \(y = ax + b\)đi qua \(A\left( { - 1; - 2} \right)\)và \(B\left( {0; - 1} \right) \Rightarrow TCX:y = x - 1\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Tâm đối xứng là giao giữa hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên nên \(I\left( { - 1; - 2} \right)\)nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow c = 1\)
Tiệm cận xiên \(y = x - 1 \Rightarrow a = 1;\,b = - 1\)
Suy ra \(y = x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}\) suy ra \(a + b + c = 1\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Cách 1: Dùng BĐT Cauchy
Điểm \(M \in y = x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}\). Suy ra \(M\left( {x;x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)\)
Độ dài \(I{M^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left[ {\left( {x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + 2} \right]^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left[ {\left( {x + 1} \right) - \frac{1}{{x + 1}}} \right]^2}\)
Đặt \(t = {\left( {x + 1} \right)^2} \Rightarrow I{M^2} = t + \left( {\sqrt t - \frac{1}{{\sqrt t }}} \right) = 2t + \frac{1}{t} - 2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si : \[2t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt {2t.\frac{1}{t}} = 2\sqrt 2 \Rightarrow I{M^2} \ge 2\sqrt 2 - 2 \Rightarrow I{M_{\min }} = \sqrt {2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \]
Cách 2: Dùng Casio
Độ dài \(IM = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left[ {\left( {x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + 2} \right]}^2}} \)

Suy ra \(IM = \sqrt {{{\left( {A + 1} \right)}^2} + {{\left[ {\left( {A - 1 - \frac{1}{{A + 1}}} \right) + 2} \right]}^2}} = 0,9101... \ne 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)nên mệnh đề d) sai