Cho hàm số y = (9 - x^2)^1/3 + ln(1 - x)

a) Sai. Điều kiện xác định:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 - x > 0\\9 - {x^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\ - 3 < x < 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow  - 3 < x < 1\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - 3;1} \right)\).

b) Sai. Ta có: \(y' = \frac{1}{3}{\left( {9 - {x^2}} \right)^{\frac{{ - 2}}{3}}}.{\left( {9 - {x^2}} \right)^\prime } + \frac{{ - 1}}{{1 - x}}\)\( = \frac{{ - 2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {9 - {x^2}} \right)}^2}}}}} - \frac{1}{{1 - x}}\).

Vậy hàm số có đạo hàm \(y' = \frac{{ - 2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {9 - {x^2}} \right)}^2}}}}} - \frac{1}{{1 - x}}\).

c) Đúng. Với mọi \(x \in \left( {0;1} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {9 - {x^2}} \right)}^2}}}}} > 0\\\frac{1}{{1 - x}} > 0\end{array} \right.\)

Do đó \(y' = \frac{{ - 2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {9 - {x^2}} \right)}^2}}}}} - \frac{1}{{1 - x}}\)\( =  - \left( {\frac{{2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {9 - {x^2}} \right)}^2}}}}} + \frac{1}{{1 - x}}} \right) < 0\).

Suy ra \(y' < 0,\;\forall x \in \left( {0;1} \right)\).

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

d) Đúng. Ta có: \(\left[ {\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right] \subset \left( {0;1} \right)\) nên hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right]\).

Suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{1}{2}\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right]\) bằng:

\({\left[ {9 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{3}}} + \ln \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) = \sqrt[3]{{\frac{{70}}{8}}} - \ln 2 = \frac{1}{2}\sqrt[3]{{70}} - \ln 2\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right]\) bằng \(\frac{1}{2}\sqrt[3]{{70}} - \ln 2\).