Cho hàm số y = (6x − 4)/( 3x + 1) có đồ thị ( C ) và I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( C ) . Gọi M là giao điểm của ( C ) và trục tung. Tiếp tuyến của ( C ) tại M cắ

18/22

Cho hàm số \(y = \frac{{6x - 4}}{{3x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và \(I\) là giao điểm của hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(\left( C \right)\) và trục tung. Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) cắt các đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\). Tính diện tích tam giác \(IAB\).

Giải thích

Đáp án: \(4\).

Đồ thị \(\left( C \right)\) có hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang có phương trình lần lượt là \(x = - \frac{1}{3}\), \(y = 2 \Rightarrow \) giao điểm 2 đường tiệm cận là \(I\left( { - \frac{1}{3};2} \right)\).

Giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung là \(M\left( {0;\, - 4} \right)\).

Ta có: \(y'\left( 0 \right) = \frac{{18}}{{{{\left( {3.0 + 1} \right)}^2}}} = 18\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) có phương trình là: \(y = 18x - 4\).

Khi đó, giao điểm của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) và tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\) lần lượt là : \(A\left( {\frac{1}{3};2} \right)\); \(B\left( { - \frac{1}{3}; - 10} \right)\).

Khi đó tam giác \(IAB\) vuông tại \(I\) nên \({S_{IAB}} = \frac{1}{2}IA.IB = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.12 = 4\).