Cho hàm số y = ( 3 – 2 m ) x + m + 4. a) Tìm m để đồ thị hàm số trên là một đường thẳng song song với trục hoành.

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] song song với trục hoành thì \(3 - 2m = 0\) và \(m + 4 \ne 0.\)

Do đó \(m = \frac{3}{2}\) và \(m \ne - 4.\)

Vậy \(m = \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Gọi \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] luôn đi qua với mọi giá trị của \[m.\]

Khi đó tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn hàm số \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] với mọi giá trị của \[m.\]

Tức là, \[{y_0} = \left( {3--2m} \right){x_0} + m + 4\] đúng với mọi \(m\)

\[{y_0} = 3{x_0}--2m{x_0} + m + 4\] đúng với mọi \(m\)

\[\left( {2{x_0} - 1} \right)m = 3{x_0} - {y_0} + 4\] đúng với mọi \(m\)

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \[2{x_0} - 1 = 0\] và \[3{x_0} - {y_0} + 4 = 0\]

Tức là \({x_0} = \frac{1}{2}\) và \({y_0} = 3{x_0} + 4 = 3 \cdot \frac{1}{2} + 4 = \frac{{11}}{2}.\)

Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị của \[m\] là \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{{11}}{2}} \right).\)

c) Để hai đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] cắt nhau thì \(3 - 2m \ne 2,\) do đó \(m \ne \frac{1}{2}.\)

Hoành độ giao điểm \(M\) của hai đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] là nghiệm của phương trình:

\[\left( {3--2m} \right){x_M} + m + 4 = 2{x_M} - 2{m^2} + 2m + 4\]

\[\left( {3--2m - 2} \right){x_M} + m + 4 + 2{m^2} - 2m - 4 = 0\]

\[\left( {1--2m} \right){x_M} + 2{m^2} - m = 0\]\(\left( * \right)\)

Vì \(m \ne \frac{1}{2}\) nên ta có \(1 - 2m \ne 0,\) khi đó từ \(\left( * \right)\) ta có:

\[{x_M} = - \frac{{2{m^2} - m}}{{1--2m}} = \frac{{m\left( {2m - 1} \right)}}{{2m - 1}} = m.\]

Thay \[{x_M} = m\] vào hàm số \[y = 2x + 1--m,\] ta được: \[{y_M} = 2 \cdot m + 1--m = m + 1.\]

Do đó \({y_M} = {x_M} + 1.\)

Vậy giao điểm \(M\) của hai đồ thị đã cho là một điểm nằm trên đường thẳng \(y = x + 1.\)