Cho hàm số y = 2x^3 + ax^2 − bx + c có đồ thị ( C ) . Biết rằng tiếp tuyến d của ( C ) tại điểm có hoành độ −1 cắt ( C ) tại điểm có hoành độ 2 (xem hình vẽ).
39/47
Cho hàm số \(y = 2{x^3} + a{x^2} - bx + c\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ −1 cắt \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ 2 (xem hình vẽ). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(d\) và \(\left( C \right)\) (phần gạch chéo trong hình) bằng
\(\frac{{25}}{2}\).
13.
\(\frac{{27}}{2}\).
11.
Giả sử: \(\left( C \right):y = 2{x^3} + a{x^2} - bx + c = f\left( x \right)\) và \(d:y = g\left( x \right)\)
Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\) là \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0\)
Vì \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba và \(g\left( x \right)\) là hàm số bậc nhất (hoặc bậc 0) (vì \(d\) là đường thẳng) nên đa thức \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\) là hàm số bậc ba có hệ số của \({x^3}\) là 2 (hệ số của \({x^3}\) ở hàm số \(f\left( x \right)\)).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0\) có nghiệm kép \(x = - 1\) và nghiệm đơn \(x = 2\).
Do đó: \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = 2{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\)
Diện tích hình phẳng bởi \(d\) và \(\left( C \right)\) là:
S=−12fx−gxdx=−122x+12x−2dx=272. Chọn C.