Cho hàm số y = 2{x^3} + a{x^2} - bx + c có đồ thị C

1/235

Cho hàm số $y = 2{x^3} + a{x^2} - bx + c$ có đồ thị $\left( C \right)$. Biết rằng tiếp tuyến $d$ của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ -1 cắt $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ 2 (xem hình vẽ). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và $\left( C \right)$ (phần gạch chéo trong hình) bằng

$\frac{{25}}{2}$

$\frac{{27}}{2}$

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Diện tích giới hạn bởi hai đường thẳng $x = a,x = b$ và đồ thị của hai hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ ($f\left( x \right),g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$) được tính bởi công thức

Lời giải

Giả sử: $\left( C \right):y = 2{x^3} + a{x^2} - bx + c = f\left( x \right)$ và $d:y = g\left( x \right)$

Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$ là $f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0$

Vî $f\left( x \right)$ là hàm số bậc ba và $g\left( x \right)$ là hàm số bậc nhất (hoặc bậc 0) (vì $d$ là đường thẳng) nên đa thức $f\left( x \right) - g\left( x \right)$ là hàm số bậc ba có hệ số của ${x^3}$ là 2 (hệ số của ${x^3}$ ở hàm số $f\left( x \right)$).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0$ có nghiệm kép $x = - 1$ và nghiệm đơn $x = 2$.

Do đó: $f\left( x \right) - g\left( x \right) = 2{(x + 1)^2}\left( {x - 2} \right)$

Diện tích hình phẳng bởi $d$ và $\left( C \right)$ là:

$Cho hàm số y = 2{x^3} + a{x^2} - bx + c có đồ thị C (ảnh 1)$