Cho hàm số y = 2x^3 - 3(m + 1)x^2 + 6mx + m^3, với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB = 2.

103/235

Cho hàm số \(y = 2{x^3} - 3(m + 1){x^2} + 6mx + {m^3}\) với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho \(AB = 2\).

\(m = 0\) hoặc \(m = 1\).

\(m = 0\) hoặc \(m = 2\).

\(m = 1\) hoặc \(m = 2\).

\(m = 1\) hoặc \(m = 3\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải.

Giải phương trình \(y' = 0\). Tìm tọa độ hai điểm cực trị theo tham số m và tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết.

Ta có \(y' = 6{x^2} - 6(m + 1)x + 6m,y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + m = 0 \Leftrightarrow x = 1{\rm{ ho?c }}x = m\).

Để hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow m \ne 1\).

Tọa độ các điểm cực trị là \(A(1;{m^3} + 3m - 1)\) và \(B(m;3{m^2})\).

Suy ra \(A{B^2} = {(m - 1)^2} + {({m^3} - 3{m^2} + 3m - 1)^2} = {(m - 1)^2} + {(m - 1)^6}\).

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow A{B^2} = 2 \Leftrightarrow {(m - 1)^6} + {(m - 1)^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow {({(m - 1)^2})^3} - 1 + {(m - 1)^2} - 1 = 0\)

\[ \Leftrightarrow ({(m - 1)^2} - 1)({(m - 1)^4} + {(m - 1)^2} + 2) = 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 0\end{array} \right.\] (thỏa mãn).