Cho hàm số y = (2x - 3)/(x - 2) có đồ thị (C). Một tiếp tuyến của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B và AB = 2 căn bậc hai của 2. Hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R} \setminus \{ 2\} \)

\(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}(C)\) có \(2\) đường tiệm cận: \(x = 2,\,\,y = 2\)

Ta có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{(x - 2)}^2}}}\)

Gọi \(M({x_0};{y_0}),({x_0} \ne 0)\) là tiếp điểm. Tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) có phương trình:

\(y = y'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0} \Leftrightarrow y = - \frac{{x - {x_0}}}{{{{({x_0} - 2)}^2}}} + \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}}\)

Cho \(x = 2 \Rightarrow y = \frac{1}{{{x_0} - 2}} + \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}} = \frac{{2{x_0} - 2}}{{{x_0} - 2}} \Rightarrow (d)\) cắt TCĐ của \((C)\) tại điểm \(A\left( {2;\frac{{2{x_0} - 2}}{{{x_0} - 2}}} \right).\)

Cho \(y = 2 \Rightarrow 2 = - \frac{{x - {x_0}}}{{{{({x_0} - 2)}^2}}} + \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}} \Leftrightarrow 2{({x_0} - 2)^2} = - x + {x_0} + (2{x_0} - 3)({x_0} - 2)\)

\( \Leftrightarrow 2x_0^2 - 8{x_0} + 8 = - x + {x_0} + 2x_0^2 - 7{x_0} + 6 \Leftrightarrow x = 2{x_0} - 2 \Rightarrow (d)\) cắt TCN của \((C)\) tại điểm \(B(2{x_0} - 2;2)\)

Độ dài đoạn \(AB:\)

\(\sqrt {{{(2 - (2{x_0} - 2))}^2} + {{\left( {\frac{{2{x_0} - 2}}{{{x_0} - 2}} - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow 4{({x_0} - 2)^2} + {\left( {\frac{2}{{{x_0} - 2}}} \right)^2} = 8\)

\( \Leftrightarrow {({x_0} - 2)^4} - 2{({x_0} - 2)^2} + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {{{({x_0} - 2)}^2} - 1} \right]^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {({x_0} - 2)^2} = 1\)

Hệ số góc của tiếp tuyến \(y'({x_0}) = - \frac{1}{{{{({x_0} - 2)}^2}}} = - \frac{1}{1} = - 1.\)

Đáp án cần chọn là: D