Cho hàm số y = (2x − 1)/( x + 1) có đồ thị ( C ) và I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Giả sử M ( x 0 ; y 0 ) là điểm trên đồ thị ( C ) có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại

Lời giải

 Đồ thị \(\left( C \right):\)\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có tiệm cận đứng \(x = - 1\) và tiệm cận ngang \(y = 2\) nên \(I\left( { - 1;2} \right)\).

Vì \(M \in \left( C \right)\) nên \(M\left( {{x_0};\frac{{2{x_0} - 1}}{{{x_0} + 1}}} \right)\,,\,\,\,\left( {{x_0} > 0} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\)tại \(M\) là \(y = \frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} - 1}}{{{x_0} + 1}}\).

\( \Rightarrow A\left( { - 1;\frac{{2{x_0} - 4}}{{{x_0} + 1}}} \right),\,\,B\left( {2{x_0} + 1;\,2} \right)\)

Ta có \(IA = \left| {\frac{6}{{{x_0} + 1}}} \right|\) và \(IB = 2\left| {{x_0} + 1} \right|\).

Khi đó \(I{A^2} + I{B^2} = 40\)\( \Leftrightarrow \frac{{36}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} + 4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = 40\,\,,\,{x_0} > 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 1} \right)^4} - 10{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = 1\\{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = 9\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\,\,(l)\\{x_0} = - 2\,\,(l)\\{x_0} = 2\,\,(n)\\{x_0} = - 4\,\,(l)\end{array} \right. \to {x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 1\). Suy ra \(M\left( {2;1} \right)\). Giá trị của biểu thức \(P = 7.\)