Cho hàm số có đồ thị (C) y = 2x + 1 / x − 1 và đường thẳng d: y=x+m. Đường thẳng d cắt đồ thị (C)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C)  và đường thẳng d:

2x+1x-1=x+m(x≠1)⇔x2+(m-3)x-m-1=0  (1)

Khi đó  cắt (C)  tại hai điểm phân biệt  A và B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 

⇔(m-3)2+4(m+1)>012+(m-3)-m-1≠0⇔m2-2m+13>0-1≠0 - luôn đúng

Gọi A( x₁ ; x₁+m) ; B( x₂ ; x₂+m)  trong đó x₁ ; x₂ là nghiệm của (1) , theo Viet ta có 

x1+x2=3-mx1x2=-m-1

Gọi I x1+x22;x1+x2+2m2 là trung điểm của AB, suy ra I 3-m2;3+m2, nên

IC→-2-3-m2; 5-3+m2 

⇒CI=12(m-7)2+(7-m)2.

Mặt khác AB→=(x2-x1; x2-x1)

⇒AB=2(x2-x1)2=2(m2-2m+13)2

Vậy tam giác ABC  đều khi và chỉ khi