Cho hàm số y = 2x - 1/x + 1 có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O.

Lời giải

Hoành độ giao điểm của đường thẳng d: y = mx + 2 và (C) là nghiệm của phương trình: \(\frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}} = m{\rm{x}} + 2\)

⇔ 2x – 1 = (mx + 2)(x + 1)

⇔ 2x – 1 = mx² + mx + 2x + 2

⇔ mx² + mx + 3 = 0       (1)

Với m = 0 thì (1) vô nghiệm

Với m ≠ 0, thì (1) là phương trình bậc hai ẩn x.

Khi đó đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác –1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\m{\left( { - 1} \right)^2} + m\left( { - 1} \right) + 3 \ne 0\end{array} \right.\)

⇔ m² – 12m > 0

⇔ m(m – 12) > 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 12\end{array} \right.\)

Giả sử x₁; x₂ là 2 nghiệm phân biệt của (1)

Khi đó tọa độ các giao điểm là A(x₁; mx₁ + 2) và B(x₂; mx₂ + 2)

Tam giác OAB vuông tại O khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\)

⇔ (1 + m²)x₁x₂ + 2m(x₁ + x₂) + 4 = 0 (*)

Áp dụng định lý Vi – ét ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{x}}_1} + {x_2} = - 1\\{x_1}{x_2} = \frac{3}{m}\end{array} \right.\]

Thay vào (*) ta được m² + 4m + 3 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = - 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy m ∈ {–3; –1}.