Cho hàm số y = (2x − 1)/( x − 1) có đồ thị ( C ) . Tiếp tuyến tại điểm M ( a ; b ) ∈ ( C ) , a > 0 tạo với hai tiệm cận của ( C ) một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng √

Gọi \(A,B\) là giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và \(I\) là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Do \({\rm{\Delta }}IAB\) vuông tại \(I\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp \({\rm{\Delta }}IAB\) là

\(R = \frac{1}{2}AB = \sqrt 2  \Leftrightarrow AB = 2\sqrt 2 \).

Hàm số có hai đường tiệm cận là \(x = 1\) và \(y = 2\).

Có \(y' =  - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M là \(y'\left( a \right) =  - \frac{1}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\).

Điểm \(M\left( {a;\frac{{2a - 1}}{{a - 1}}} \right)\).

Ta có tiếp tuyến tại M có phương trình là \(y =  - \frac{1}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \frac{{2a - 1}}{{a - 1}}\).

Giả sử tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại \(A\left( {1;\frac{{2a}}{{a - 1}}} \right)\) và cắt tiệm cận ngang tại \(B\left( {2a - 1;2} \right)\).

Có \(AB = 2\sqrt 2 \) nên \({\left( {2a - 2} \right)^2} + {\left( {2 - \frac{{2a}}{{a - 1}}} \right)^2} = 8\)\( \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = 2\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 1 = 1\\a - 1 =  - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 2\end{array} \right.\)

Do \(a > 0 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow b = 3\)

Vậy \(a + 2b = 8\). Chọn C.