Cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 6}}{{x - 2}}\).
15/22
Cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 6}}{{x - 2}}\).
Đạo hàm của hàm số đã cho là \(y' = \frac{{2{x^2} - 8x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
Bảng biến thiên hàm số đã cho là
Tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số lần lượt là \(x = 2\), \(y = 2x + 1\).
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng \(4\sqrt {17} \).
a) ĐÚNG: Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có \(y' = \frac{{\left( {4x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {2{x^2} - 3x + 6} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 8x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
b) SAI: Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 4\).
Với \(x = 0 \Rightarrow y = - 3\) và \(x = 4 \Rightarrow y = 13\).
Xét dấu \(y'\), ta có \(y' > 0\) với mọi \(x\) thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\); \(y' < 0\) với mọi \(x\) thuộc các khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\). Như vậy, bảng biến thiên đã cho sai dấu, dẫn đến chiều biến thiên cũng sai.
c) ĐÚNG: Tiệm cận đứng \(x = 2\).
Thực hiện chia đa thức: \(y = 2x + 1 + \frac{8}{{x - 2}}\) nên tiệm cận xiên là \(y = 2x + 1\).
d) ĐÚNG: Hai điểm cực trị là \(A\left( {0; - 3} \right)\) và \(B\left( {4;13} \right)\).
Khoảng cách là \(AB = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {13 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = 4\sqrt {17} \).