Cho hàm số y = 1/( x − 1) có đồ thị ( C ) . Tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có tung độ bằng 1 tạo với hai trục tọa độ Ox , Oy một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào

9/49

Cho hàm số \(y = \frac{1}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có tung độ bằng \(1\) tạo với hai trục tọa độ \[Ox,\;Oy\] một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình

\(\frac{1}{{x - 1}} = 1 \Rightarrow x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn).

Ta có: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 2 \right) = - 1\). Phương trình tiếp tuyến: \(y = - 1\left( {x - 2} \right) + 1\) hay \(y = - x + 3\).

Tiếp tuyến này cắt hai trục tọa độ \[Ox,\;Oy\] lần lượt tại hai điểm \[A\left( {3\;;\;0} \right),\;B\left( {0\;;\;3} \right)\].

Do đó, diện tích tam giác \[OAB\] bằng \[\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5\].

Đáp án cần nhập là: \(4,5\).