Cho hàm số \(y = \sqrt {\frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}}} \). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện xác định của hàm số là 1 – cos x > 0.

b) Sai. Ta có: \(\frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}} = \frac{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}} = {\left( {\frac{{\cos \frac{x}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}}} \right)^2} = {\cot ^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)\).

c) Sai. Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}} \ge 0\\1 - \cos x \ne 0\end{array} \right.\) (1)

Vì -1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

=> \(\left\{ \begin{array}{l}1 + \cos x \ge 0\\1 - \cos x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}} \ge 0,\,\,\forall \,1 - \cos x \ne 0\).

Do đó (1) ⇔ 1 – cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k2π.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {k2π, k ∈ ℤ}.

d) Đúng. Thay π vào hàm số ta được: \(\frac{{1 + \cos \pi }}{{1 - \cos \pi }} = \frac{0}{2} = 0\). Do đó π thuộc hàm số.