Cho hàm số y = -1/3x^3 + (m - 1)x^2 + (m + 3)x - 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 3).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải.

Để hàm số đồng biến trên \((0;3) \Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm \({x_1} \le 0 < 3 \le {x_2}\).

Lời giải chi tiết.

Ta có \(y' = - {x^2} + 2(m - 1)x + m + 3\).

Xét phương trình \(y' = 0\). \(\Delta ' = {(m - 1)^2} + (m + 3) = {m^2} - m + 4 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\).

Suy ra phương trình \(y' = 0\) luôn có hai nghiệm \({x_1} < {x_2}\) với mọi m.

\(y' = - {x^2} + 2(m - 1)x + m + 3\) là tam thức bậc hai có hệ số a âm và có hai nghiệm nên sẽ mang dấu dương trong khoảng hai nghiệm.

Để hàm số đồng biến trên \((0;3) \Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm \({x_1} \le 0 < 3 \le {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - y'(0) \le 0}\\{ - y'(3) \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 3 \ge 0}\\{ - ( - 9 + 6(m - 1) + m + 3) \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge - 3}\\{ - 9 + 6m - 6 + m + 3 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge - 3}\\{7m \ge 12}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ge \frac{{12}}{7}\).