Cho hàm số y =1/3mx^3- (m - 1)x^2 + 3(m - 2)x + 2018 với m là tham số. Tổng bình phương tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x1;x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1 bằng

8/35

Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}m{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 2} \right)x + 2018\) với \(m\) là tham số. Tổng bình phương tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị \({x_1};\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + 2{x_2} = 1\) bằng

\(\frac{{40}}{9}\).

\(\frac{{22}}{9}\).

\(\frac{{25}}{4}\).

\(\frac{8}{3}\).

Giải thích

Lời giải

Ta có \[y' = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right)\].

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình \[m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0\] phải có hai nghiệm phân biệt \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 3m\left( {m - 2} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 2{m^2} + 4m + 1 > 0\end{array} \right.\].

Theo định lý Viète ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{m}\\{x_1} \cdot {x_2} = \frac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m}\end{array} \right.\].

Theo bài ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{m}\\{x_1} + 2{x_2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{3m - 4}}{m}\\{x_2} = 1 - \frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{m} = \frac{{2 - m}}{m}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \frac{{3m - 4}}{m} \cdot \frac{{2 - m}}{m} = \frac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m} \Rightarrow 3\left( {2 - m} \right)m + \left( {3m - 4} \right)\left( {2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\left( {{\rm{t/m}}} \right)\\m = \frac{2}{3}\left( {{\rm{t/m}}} \right)\end{array} \right.\].

Vậy \({m_1}^2 + {m_2}^2 = \frac{{40}}{9}\). Chọn A.