Cho hàm số y = 1/3 x^3 − (m^2 + 3)/ 2 x^2 − ( m^3 + m − 2 ) x + m^2 có điểm cực tiểu, điểm cực đại lần lượt là x CT , . Số giá trị nguyên trong đoạn [ − 9 ; 9 ] của m thỏa mãn là:

Ta có: \[y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{{{m^2} + 3}}{2}{x^2} - \left( {{m^3} + m - 2} \right)x + {m^2}\].

\[y' = {x^2} - \left( {{m^2} + 3} \right)x - \left( {{m^3} + m - 2} \right)\]

\[y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {{m^2} + 3} \right)x - \left( {{m^3} + m - 2} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - \left( { - m + 1} \right)x - \left( {{m^2} + m + 2} \right)x + \left( { - m + 1} \right)\left( {{m^2} + m + 2} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x + m - 1} \right)\left( {x - {m^2} - m - 2} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + m - 1 = 0\\x - {m^2} - m - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - m + 1\\x = {m^2} + m + 2\end{array} \right.\].

Ta có \[{m^2} + m + 2 - \left( { - m + 1} \right) = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\] nên để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu thì \[m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 1\], và ta cũng suy ra được \[{m^2} + m + 2 >  - m + 1\] với mọi \[m \ne  - 1\] nên , \[{x_{{\rm{CT}}}} = {m^2} + m + 2\] .

Ta có: .

Mà \(m\) nguyên thuộc đoạn \[\left[ { - 9;9} \right]\], \[m \ne  - 1\] nên \[m \in \left\{ { - 9; - 8;...; - 2} \right\}\].

Vậy có \[8\] giá trị của \(m\) thỏa mãn ycbt. Chọn A.