Cho hàm số y = -1/2x^2 a) Vẽ đồ thị của hàm số. b) Đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm A và B có hoành độ lần lượt bằng 1 và –2. Hãy xác định a và b.

a) Ta có bảng giá trị của hàm số:

x	–4	–2	0	2	4
\(y = - \frac{{{x^2}}}{2}\)	–8	–2	0	–2	–8

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒4; ‒8); B (‒2; ‒2); O(0; 0); C(2; ‒2); D(4; ‒8).

• Đồ thị của hàm số \(y = - \frac{{{x^2}}}{2}\) là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) Do đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm A và B có hoành độ lần lượt bằng 1 và – 2 nên x_A = 1; x_B = ‒2.

Thay toạ độ của điểm A(1; y_A) vào \(y = - \frac{{{x^2}}}{2},\) ta được \({y_A} = - \frac{{{1^2}}}{2} = - \frac{1}{2}.\)

Do đó \(A\left( {1; - \frac{1}{2}} \right).\)

Thay toạ độ của điểm B(‒2; y_B) vào \(y = - \frac{{{x^2}}}{2},\) ta được \({y_B} = - \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{2} = - \frac{4}{2} = - 2.\)

Do đó B(– 2; – 2).

Điểm \(A\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\) thuộc đường thẳng y = ax + b nên thay \(x = 1,\,\,y = - \frac{1}{2}\) vào hàm số y = ax + b, ta được: \( - \frac{1}{2} = a \cdot 1 + b\) hay \(a + b = - \frac{1}{2}.\) (1)

Điểm B(–2; –2) thuộc đường thẳng y = ax + b nên thay x = –2, y = –2 vào hàm số y = ax + b, ta được: –2 = a.(–2) + b hay – 2a + b = – 2. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = - \frac{1}{2}}\\{ - 2a + b = - 2.}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(3a = \frac{3}{2},\) suy ra \(a = \frac{1}{2}.\)

Thay \(a = \frac{1}{2}\) vào phương trình \(a + b = - \frac{1}{2},\) ta được:

\(\frac{1}{2} + b = - \frac{1}{2},\) suy ra b = –1.

Vậy \(a = \frac{1}{2},\;\,\,b = - 1.\)