Cho hàm số  với m là tham số thực. Đồ thị hàm số đã cho có tối đa bao nhiêu cực trị? ( nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án đúng là "5"

Phương pháp giải

Đặt \(f\left( x \right) = {x^3} + 3mx\sqrt {{x^2} + 1} \).

Lời giải

Đặ \(f\left( x \right) = {x^3} + 3mx\sqrt {{x^2} + 1} \).

Ta có \(y' = \frac{{f'\left( x \right).f\left( x \right)}}{{\left| {f\left( x \right)} \right|}}\) nên số điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng tổng nghiệm của \(f\left( x \right) = 0\) và \(f'\left( x \right) = 0\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 3m.\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }},\forall x \in \mathbb{R}\).

Suy ra \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - m = \frac{{{x^2}.\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2{x^2} + 1}}\) (1)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1}  \ge 1\). Khi đó (1) \( \Leftrightarrow  - m = \frac{{{t^3} - t}}{{2{t^2} - t}}\) (2)

Xét hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{{t^3} - t}}{{2{t^2} - t}}\), với \(t \ge 1\). Ta có \(g'\left( t \right) = \frac{{2{t^4} - {t^2} + 1}}{{{{\left( {2{t^2} - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall t \ge 1\) suy ra (2) có nhiều nhất một nghiệm \(t \ge 1\) khi \(m \le 0\) hay (1) có nhiều nhất 2 nghiệm phân biệt khi \(m < 0\) (*)

Mà \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} =  - 3mx\sqrt {{x^2} + 1} \) (3).

Khi \(m < 0,\,\,\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} =  - 3m\sqrt {{x^2} + 1}  = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^4} - 9{m^2}{x^2} - 9{m^2} = 0}\end{array}} \right.} \right.\) (4)

Xét phương trình (4) ta có \(P =  - 9{m^2} < 0\), với \(m < 0\) nên (4) luôn có hai nghiệm phân biệt hay (3) có nhiều nhất 3 nghiệm phân biệt.

Vậy đồ thị của hàm số \(y = \left| {{x^3} + 3mx\sqrt {{x^2} + 1} } \right|\) có tối đa 5 cực trị.