Cho hàm số thỏa mãn f ( 2 ) = − 2/9 và f ′ ( x ) = 2 x [ f ( x ) ]^2 với mọi x ∈ R . Giá trị của f ( 1 ) bằng (1) _______.

Đáp án: “-2/3”

Giải thích

Ta có \(f'\left( x \right) = 2x{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = 2x\)

Do đó \(\mathop \smallint \nolimits^ \frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}{\rm{\;d}}x =  - \frac{1}{{f\left( x \right)}} + {C_1}\) và \(\mathop \smallint \nolimits^ 2xdx = {x^2} + {C_2}\). Suy ra \( - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + C\)

Mặt khác \(f\left( 2 \right) =  - \frac{2}{9}\) nên ta có \(C = \frac{1}{2}\).

Vậy \(f\left( x \right) =  - \frac{1}{{{x^2} + \frac{1}{2}}} = \frac{{ - 2}}{{2{x^2} + 1}}\), do đó \(f\left( 1 \right) =  - \frac{2}{3}\).