Cho hàm số (m là tham số). Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục Oxy.

Công thức hàm số có dạng y = \(\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với a = m – 1; b = −2; c = −1, d = m – 2.

Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi hàm số nghịch biến và có tiệm cận đứng không ở bên trái trục Oy, tiệm cận ngang không ở bên dưới trục Ox, nghĩa là:

\(\left\{ \begin{array}{l}ad - bc < 0\\c \ne 0\\\frac{a}{c} \ge 0\\ - \frac{d}{c} \ge 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) - \left( { - 2} \right)\left( { - 1} \right) < 0\\ - 1 \ne 0\\\frac{{m - 1}}{{ - 1}} \ge 0\\\frac{{m - 2}}{1} \ge 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}0 < m < 3\\m \le 1\\m \ge 2.\end{array} \right.\)

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu.