Cho hàm số (m là tham số). a) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị. b) Chứng tỏ rằng khi m = 2, hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

a) y = \(\frac{{{x^2} + 2x - m}}{{x - 1}}\)

Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Ta có: y' = \(\frac{{{x^2} - 2x + m - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

a) Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt.

⇔ x2 – 2x + m – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

⇔ ∆' > 0 ⇔ 3 – m > 0 ⇔ m < 3.

Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị khi m < 3.

b) Nhận thấy m = 2 thỏa mãn điều kiện m < 3 nên khi đó hàm số có hai cực trị.

Với m = 2, ta có: y = \(\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\) và y' = \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Phương trình y' = 0  ⇔ \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Với x = 0 thì y = 2, với x = 2 thì y = 6.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng y = ax + b.

Giải hệ phương trình, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a.0 + b = 2\\a.2 + b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\end{array} \right.\).

Vậy y = 2x + 2.