Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm (nhập đáp án vào ô trống)?

Ta có:\( - 1 \le \cos x \le 1\)\( \Rightarrow - 2 \le 3\cos x + 1 \le 4\).

Đặt \(t = 3\cos x + 1\), khi đó để phương trình \(f\left( {3\cos x + 1} \right) = - \frac{m}{2}\) có nghiệm thì phương trình \(f\left( t \right) = - \frac{m}{2}\) có nghiệm \(t \in \left[ { - 2;4} \right]\).

Từ bảng biến thiên suy ra yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow - 1 \le - \frac{m}{2} \le 3 \Leftrightarrow - 6 \le m \le 2\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;\,0;\,1;\,2} \right\}\).Vậy có tất cả \(9\) giá trị thỏa mãn.

Đáp án cần nhập là:\[9\].