Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên y- f(x) thỏa mãn điều kiện

12/22

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục, có đạo hàm trên \[R\] thỏa mãn điều kiện \[f(x) + x\left( {{f^\prime }(x) - 2\sin x} \right) = {x^2}\cos x,x \in R\] và \[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\]. Tính \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} \]

\[I = 1\].

\[I = \frac{\pi }{2}\].

\[I = - 1\].

\[I = - \pi \].

Giải thích

Từ giả thiết \[f(x) + x\left( {{f^\prime }(x) - 2\sin x} \right) = {x^2}\cos x\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow f(x) + x{f^\prime }(x) = {x^2}\cos x + 2x\sin x\\ \Leftrightarrow {\left( {xf\left( x \right)} \right)^\prime } = {\left( {{x^2}\sin x} \right)^\prime }\\ \Leftrightarrow xf\left( x \right) = {x^2}\sin x + C\end{array}\]

Mặt khác: \[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = x\sin x.\]

\[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{x\sin x}}{x}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = 1\].