Cho hàm số . Khi đó bằng (đạo hàm cấp n của hàm số)

Đáp án A

Ta có y'=−1x2=−11.1!x2; y''=−2x3=−12.2!x3; y'''=−6x4=−13.3!x4.

 Dự đoán yn=−1n.n!xn+1*. Chứng minh mệnh đề (*):

* Với n=1 thì *⇔y'=−1x2. Khi đó (*) đúng.

* Giả sử (*) đúng với n=k,k≥1 , tức là yk=−1k.k!xk+1 .

Khi đó yk+1=yk'=−1k.k!xk+1=−1k.−k+1.k!.xkxk+12=−1k+1.k+1!xk+2. Vậy mệnh đề (*) cũng đúng với n=k+1 nên nó đúng với mọi n.