Cho hàm số g(x) = min(2 - x, x). Tính tích phân I = tích phân từ 0 đến 2 của g(x)dx.

98/100

Cho hàm số \(g\left( x \right) = \min \left\{ {2 - x,x} \right\}\). Tính tích phân \(I = \int_0^2 g \left( x \right)dx\).

\(1\)

\(2\)

\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{3}{2}\)

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải:

Giải phương trình chia trường hợp của hàm \(\min \). Phân tích hàm số dưới dạng hàm cho bởi nhiều công thức rồi tính trực tiếp.

Lời giải chi tiết:

Ta xét phương trình \(2 - x = x \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\).

Với \(x \le 1 \Rightarrow 2 - x \ge x \Rightarrow g\left( x \right) = x\).

Với \(x > 1 \Rightarrow 2 - x < x \Rightarrow g\left( x \right) = 2 - x\).

Hàm số \(g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) nên tích phân được tính bằng tổng các tích phân trên từng khoảng:

\(I = \int_0^1 x dx + \int_1^2 {\left( {2 - x} \right)} dx = \left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)|_0^1 + \left( {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)|_1^2 = \frac{1}{2} + \left[ {\left( {4 - 2} \right) - \left( {2 - \frac{1}{2}} \right)} \right] = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\).