Cho hàm số g(x) = { cos(πx^2) khi |x| ≤ 1 x − 1 khi |x| > 1 }. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Ta có hàm số \(y = \cos \frac{{\pi x}}{2}\) xác định trên [-1; 1] và hàm số y = x – 1 xác định trên (-$\infty$; -1) $\cup$ (1; +$\infty$) nên hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

b) Sai. g(-1) =\(\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 0\).

c) Sai. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = - 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \cos \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right) = \cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 0\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} g\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} g\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} g\left( x \right)\)

Do đó, hàm số g(x) không liên tục tại x =-1.

d) Đúng. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \cos \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right)\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0\) đồng thời g(1) = \(\cos \frac{\pi }{2} = 0\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = g\left( 1 \right)\). Vậy hàm số g(x) liên tục tại x = 1.