Cho hàm số . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) lớn hơn 1. Tính số các phần tử của tập hợp S. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án đúng là "7"

Phương pháp giải

Cô lập m

Lời giải

Hàm số \(f\left( x \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

Theo bài ta có: .

Vì \(f\left( 0 \right) = 4 > 1\) nên:

\(\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| + mx > 1,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > {\rm{max}}\frac{{1 - \left| {{x^2} - 5x + 4} \right|}}{x},\forall x > 0}\\{m < {\rm{min}}\frac{{1 - \left| {{x^2} - 5x + 4} \right|}}{x},\forall x < 0}\end{array}} \right.\)(*)

Xét hàm số

\(g\left( x \right) = \frac{{1 - \left| {{x^2} - 5x + 4} \right|}}{x} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x - \frac{3}{x} + 5,\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)}\\{x + \frac{5}{x} - 5,\forall x \in \left[ {1;4} \right]}\end{array}} \right.\)

Với \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0;1} \right)\mathop  \cup \nolimits^ \left( {4; + \infty } \right)\).

Ta có \(g'\left( x \right) =  - 1 + \frac{3}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \sqrt 3 \left( l \right)}\\{x =  - \sqrt 3 \left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\)

Với \(x \in \left[ {1;4} \right]\), ta có \(:g'\left( x \right) = 1 - \frac{5}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \sqrt 5 \left( {tm} \right)}\\{x =  - \sqrt 5 \left( l \right)}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\):

​

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\left( {\rm{*}} \right)\) xảy ra khi \(1 < m < 5 + 2\sqrt 3 \)

Vậy có 7 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán