Cho hàm số g(x)=dt/lnt với x>1. Tìm tập giá trị T của hàm số

Ta có g'x=2x1lnx2-1lnx=x-1ln>0,∀x>1⇒ g(x) đồng biến trên 1;+∞

Suy ra tập giá trị của hàm số g(x) là T=g1+;g+∞

Do 1lnt là hàm số nghịch biến nên gx≥x2-x1lnx2→+∞ khi x→+∞

Do đó g+∞=+∞

Để tính g1+ đặt t=ex, ta được gx=∫lnx2lnxevvdv

Khi đó gx<e2lnx=∫lnx2lnxdvv=x2ln2

Chứng minh tương tự, ta thu được g(x) > xln(2)

Theo định lí kẹp, ta suy ra g1+=ln2

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là T=ln2;+∞

Đáp án D