Cho hàm số f(x)=x^3+ax^2+bx+c.

a) Tại \(x = 1,\) ta có: \(f\left( 1 \right) = {1^3} + a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c + 1.\)

b) Áp dụng các công thức tính đạo hàm, ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b.\)

c) Ta có: \(f\left( 1 \right) = a + b + c + 1.\)

\(f'\left( 1 \right) = {3.1^2} + 2.\,a.\,1 + b = 2a + b + 3.\)

Nếu \(f\left( 1 \right) + 2 = f'\left( 1 \right)\,\, \Leftrightarrow a + b + c + 1 + 2 = 2a + b + 3\)

\( \Leftrightarrow a + b + c + 3 = 2a + b + 3\)

\( \Leftrightarrow a = c.\)

d) Theo câu c), nếu \(f\left( 1 \right) + 2 = f'\left( 1 \right) \Rightarrow a = c\)

Xét bất phương trình \(f\left( x \right) + 2 \ge f'\left( x \right)\)với \(\forall x \ge 0:\)

\( \Leftrightarrow {x^3} + a{x^2} + bx + c + 2 \ge 3{x^2} + 2ax + b\)

Thay \(a = c\) vào bất phương trình:

\({x^3} + a{x^2} + bx + a + 2 \ge 3{x^2} + 2ax + b\)

\( \Leftrightarrow {x^3} + \left( {a - 3} \right){x^2} + \left( {b - 2a} \right)x + \left( {a - b + 2} \right) \ge 0\)

Đặt \(g\left( x \right) = {x^3} + \left( {a - 3} \right){x^2} + \left( {b - 2a} \right)x + \left( {a - b + 2} \right)\)

Do \(f\left( 1 \right) + 2 = f'\left( 1 \right) \Leftrightarrow g\left( 1 \right) = 0\)

Để \(g\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \ge 0.\) Mà \(g\left( 1 \right) = 0,\) thì \(x = 1\) phải là điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right).\)

Do đó, ta có phải có \(g'\left( 1 \right) = 0.\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = 3{x^2} + 2\left( {a - 3} \right)x + \left( {b - 2a} \right)\)

\(g'\left( 1 \right) = {3.1^2} + 2\left( {a - 3} \right).1 + b - 2a = b - 3\)

Để \(g'\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow b - 3 = 0 \Leftrightarrow b = 3.\)