Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị f'(x) như hình vẽ bên. Bất phương trình

Điều kiện fx+m+2>0

Đặt t=log6fx+m+2⇒fx+m+2=5t

Bất phương trình đã cho trở thành t+5t>6

Xét hàm gt=t+5t

g't=1+5t.ln5>0,∀t do đó g(t) là hàm đồng biến

Mà g(1) = 6 nên t+5t>6⇔t>1

Bất phương trình log5fx+m+2+fx>4−m đúng với mọi x∈−1;4 khi và chỉ khi 

fx+m+2>0log5fx+m+2>1,∀x∈−1;4⇔fx>−m−2fx>−m+3,∀x∈−1;4

⇔fx>−m+3,,∀x∈−1;4

Xét hàm f(t) trên (-1;4)

  

Quan sát đồ thị của hàm số f'(x) ta có

∫−11f'xdx<−∫14f'xdx⇔f1−f−1<f1−f4⇔f−1>f4.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm f(x) trên [-1;4] và dựa vào nhận xét f(-1) > f (4) ta có fx>−m+3,∀x∈−1;4 khi f4≥−m+3⇔m≥3−f4.

Chọn A.