Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R là f'(x) = (x - 1)(x + 3). Có bao nhiêu giá trị nguyên

Đặt y=gx=fx2+3x−m ta có g'x=2x+3f'x2+3x−m.

Để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) thì g'x≥0 ∀x∈0;2 và bằng 0 tại hữu hạn điểm

⇒2x+3f'x2+3x−m≥0 ∀x∈0;2.

⇔f'x2+3x−m≥0 ∀x∈0;2 (do 2x+3>0 ∀x∈0;2) (*)

Ta có: f'x=x−1x+3≥0⇔x≥1x≤−3

Do đó *⇔x2+3x−m≥1 ∀x∈0;2x2+3x−m≤−3 ∀x∈0;2⇔x2+3x≥m+1 ∀x∈0;2x2+3x≤m−3 ∀x∈0;2**.

Đặt hx=x2+3x, khi đó **⇔hx≥m+1 ∀x∈0;2hx≤m−3 ∀x∈0;2⇔min0;2hx≥m+1max0;2hx≤m−3.

Xét hàm số hx=x2+3x trên [0; 2] ta có h'x=2x+3=0⇔x=−32∉0;2.

Có h0=0,h2=10 nên min0;2hx=0≥m+1max0;2hx=10≤m−3⇔m≤−1m≥13.

Kết hợp điều kiện đề bài ta có m∈−10;2021m∈ℤ. Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn B.