Cho hàm số f(x)=asinx+bcosx (với a,b tuộc R , b>0), có . Gọi hình phẳng

33/50

Cho hàm số fx=asinx+bcosx (với a,b∈ℝ;b>0), cóf'0=1 . Gọi hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số fx với các trục hoành, trục tung và đường thẳng x=π. Khi quay (H) quanh trục Ox thì ta được một vật thể tròn xoay có thể tích bằng 17π22. Khi đó giá trị biểu thức T=2021a+b10 thuộc khoảng nào sau đây?

210;310

310;410

410;510

72020;92020

Giải thích

Thể tích của vật thể là:

17π22=π∫0πasinx+bcosx2dx=π∫0πa2sin2x+b2cos2x+2absinxcosxdx

=π∫0πa21−cos2x2+b21+cos2x2+absin2xdx

=πa2x2−sin2x4+b2x2+sin2x4−ab2cos2x0π=a2+b2π22.

Suy ra có a2+b2=17.

Mặt khác f'x=acosx−bsinx⇒1=f'0=a⇒a=1⇒b=4.

Ta được T=2020+410.