Cho hàm số f(x)=4sin^2(2x-pi/3). Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 8 với mọi x Î ℝ. Tìm x để f'(x) = 8.

+ Có f'x=4sin22x−π3'=8sin2x−π3sin2x−π3'

=8sin2x−π3cos2x−π3⋅2x−π3'

=8⋅2sin2x−π3cos2x−π3=8sin4x−2π3

Vì sin4x−2π3≤1 với mọi x Î ℝ nên 8sin4x−2π3≤8 với mọi x Î ℝ .

Vậy |f'(x)| ≤ 8 với mọi x Î ℝ.

+ Có f'(x) = 8 ⇔8sin4x−2π3=8

 ⇔sin4x−2π3=1

 ⇔4x−2π3=π2+k2π (k Î ℤ)

  ⇔4x=7π6+k2π (k Î ℤ)

⇔x=7π24+kπ2 (k Î ℤ).

Vậy f'(x) = 8 khi x=7π24+kπ2 với k Î ℤ.