Cho hàm số f(x)=|3x^4-4x^3-12x6^2+m| . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số

50/50

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {3{{\rm{x}}^4} - 4{{\rm{x}}^3} - 12{{\rm{x}}^2} + m} \right|\). Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\). Giá trị nhỏ nhất của M bằng

\(\frac{{59}}{2}\)

\(\frac{5}{2}\)

\(\frac{{57}}{2}\)

Giải thích

Đáp án A

Đặt \(g\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^4} - 4{{\rm{x}}^3} - 12{{\rm{x}}^2} + m\).

Có g'x=12x3−12x2−24x;x=0⇔x=−1x=0x=2

Ta có: \(g\left( { - 1} \right) = m - 5;{\rm{ g}}\left( 0 \right) = m;{\rm{ g}}\left( 2 \right) = m - 32;{\rm{ g}}\left( 3 \right) = m + 27\).

Ta thấy: \(m - 32 < m - 5 < m < m + 27,\forall m\).

TH1: Nếu \m−32<m+27≤0⇔m≤−27 thì \(M = \left| {m - 32} \right|\) và \(\min M = 59\).

TH2: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 32 < 0 < m + 27}\\{\left| {m - 32} \right| \le \left| {m + 27} \right|}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 27 < m < 32}\\{ - m - 27 \le m - 32 \le m + 27}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 27 < m < 32}\\{m \ge \frac{5}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \frac{5}{2} \le m < 32\] thì \(M = \left| {m + 27} \right|\) và \(\min M = \frac{{59}}{2}\).

TH3: m−32<0<m+27m+27≤m−32⇔−27<m<32m−32≤m+27≤−m+32⇔−27<m<32m≤52⇔−27<m≤52 thì M=m−32 và minM=592

TH4: Nếu \(0 \le m - 32 < m + 27 \Leftrightarrow m \ge 32\) thì \(M = \left| {m + 27} \right|\) và \(\min M = 59\).

Vậy \(\min M = \frac{{59}}{2}\) khi \(m = \frac{5}{2}\).