Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên ℝ\{−1} và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Đáp án: a) Sai.             b) Sai.                  c) Sai.                  d) Đúng.

a) Sai. Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty \) nên x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) Sai. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2\) nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 2\) nên y = −2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang.

c) Sai. Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{2}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = - \frac{1}{2}\) nên \(y = \frac{1}{2}\) và \(y = - \frac{1}{2}\) là hai đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\).

d) Đúng. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ < −1 < x₂. Khi đó f(x₁) = f(x₂) = 0.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ - } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_2^ - } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = + \infty \) nên x = x₁; x = x₂ là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\) có tất cả 4 đường tiệm cận.