Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm f'(x) liên tục trên ,

41/50

Cho hàm số fx xác định và có đạo hàm f'x liên tục trên 1 ; 3, fx≠0 với mọi x∈1 ;3, đồng thời f'x1+fx2=fx2x−12 và f1=−1. Biết rằng ∫13fxdx=aln3+b a∈ℤ, b∈ℤ, tính tổng S=a+b2.

S=0

S=2

S=−1

S=4

Giải thích

Với x∈1; 3 ta có: f'x1+fx2=fx2x−12⇔f'x1+fx2fx4=x−12.
⇔1fx4+2fx3+1fx2f'x=x2−2x+1
Suy ra: −13fx3−1fx2−1fx=x33−x2+x+C (lấy nguyên hàm hai vế).
Ta lại có: f1=−1⇒13−1+1=13−1+1+C⇒C=0.
Dẫn đến: −131fx3−1fx2−1fx=−13−x3−−x2−−x *.
Vì hàm số gt=−13t3−t2−t nghịch biến trên R nên *⇒1fx=−x⇒fx=−1x.
Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.
Do đó ∫13fxdx=∫13−1xdx=−ln3⇒a=−1, b=0. Vậy S=a+b2=−1.Chọn đáp án C