Cho hàm số f(x) = x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e (b, c, d, e ∈ R) đạt cực trị tại x1, x2, x3 (x1 < x2 < x3) và có f(x1) = 1, f(x2) = 16, f(x3) = 9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

8/40

Cho hàm số \[f\left( x \right) = {x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\left( {b,c,d,e \in \mathbb{R}} \right)\]đạt cực trị tại \[{x_1},{x_2},{x_3}\left( {{x_1} < {x_2} < {x_3}} \right)\] và có \[f\left( {{x_1}} \right) = 1,f\left( {{x_2}} \right) = 16,f\left( {{x_3}} \right) = 9\]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}\] và trục hoành bằng:

\(6\).

\(4\).

\(8\).

\(2\).

Giải thích

Ta có đồ thị \(g\left( x \right)\) giao với trục hoành \( \Leftrightarrow g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }} = 0\) với \(f\left( x \right) > 0\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1}\\x = {x_2}\\x = {x_3}\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng cần tìm là

\(S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_3}} {\left| {g\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_3}} {\left| {\frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}} \right|dx} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {\frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}} \right|dx} + \int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left| {\frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}} \right|dx} \) \( = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}dx} } \right| + \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}dx} } \right|\)

\( = \left| {\left. {2\sqrt {f\left( x \right)} } \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right| + \left| {\left. {2\sqrt {f\left( x \right)} } \right|_{{x_2}}^{{x_3}}} \right|\)\( = 2\left( {\left| {\sqrt {f\left( {{x_2}} \right)} - \sqrt {f\left( {{x_1}} \right)} } \right| + \left| {\sqrt {f\left( {{x_3}} \right)} - \sqrt {f\left( {{x_2}} \right)} } \right|} \right)\)\( = 2\left( {\left| {\sqrt {16} - \sqrt 1 } \right| + \left| {\sqrt 9 - \sqrt {16} } \right|} \right) = 8\). Chọn C.