Cho hàm số f(x)= {x^4} - 2{x^2}\)

20/235

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2}\). Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right)\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau:

\(\left( {\frac{3}{2};2} \right)\).

\(\left( { - 2;\frac{{ - 3}}{2}} \right)\).

\(\left( { - 1;0} \right)\).

\(\left( {0;1} \right)\)

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Tính đạo hàm của hàm số đã cho.

Lời giải

Có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x;g'\left( x \right) = f'\left( x \right).f'\left( {f\left( x \right)} \right) = \left( {4{x^3} - 4x} \right).f'\left( {f\left( x \right)} \right)\)

Cho \(g'\left( x \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x^3} - 4x = 0}\\{{f^\prime }(f(x)) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x^3} - 4x = 0}\\{f(x) = 0}\\{f(x) = 1}\\{f(x) = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x^3} - 4x = 0\,\,(1)}\\{{x^4} - 2{x^2} = 0\,\,(2)}\\{{x^4} - 2{x^2} = 1\,\,(3)}\\{{x^4} - 2{x^2} = - 1\,\,(4)}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Có (1) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0{\rm{\;(simple\;root)\;}}}\\{x = 1{\rm{\;(simple\;root)\;}}}\\{x = - 1{\rm{\;(simple\;root)\;}}}\end{array}} \right.\)

Có (2) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0{\rm{\;(double\;root)\;}}}\\{x = \sqrt 2 {\rm{\;(simple\;root)\;}}}\\{x = - \sqrt 2 {\rm{\;(simple\;root)\;}}}\end{array}} \right.\)

Có \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = 1 + \sqrt 2 }\\{{x^2} = 1 - \sqrt 2 }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \sqrt {1 + \sqrt 2 } {\rm{\;(simple\;root)\;}}}\\{x = - \sqrt {1 + \sqrt 2 } {\rm{\;(simple\;root)\;}}}\end{array}} \right.} \right.\)

Có \(\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1{\rm{\;(double\;root)\;}}}\\{x = - 1{\rm{\;(double\;root)\;}}}\end{array}} \right.\)

Khi đó, ta có bảng xét dấu của hàm \(g'\left( x \right)\) như sau:

Từ bảng biến thiên, ta suy ra hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - 1;0} \right)\).