Cho hàm số f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết hàm số g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x)

Đáp án đúng là: D

Ta có: f(x) = x³ + ax² + bx + c

Þ f '(x) = 3x² + 2ax + b

Þ f "(x) = 6x + 2a

Þg(x) = f(x) + f '(x) + f "(x)

= x³ + ax² + bx + c + 3x² + 2ax + b + 6x + 2a

= x³ + (a + 3)x² + (2a + b + 6)x + 2a + b + c

Þg '(x) = 3x² + 2(a + 3)x + 2a + b + 6

Hàm số g '(x) = 0 có 2 nghiệm x₁ và x₂ (x₁ < x₂) cũng là 2 điểm cực trị của y = g(x)

Nên g(x₁) = 2; g(x₂) = –4 (do g(x) là hàm số bậc ba có hệ số của x³ là 1 > 0)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:

 f(x)g(x)+6=1  

⇔fx−gx−6gx+6=0

 

Ta có g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x)

Þ f(x) – g(x) = –[f '(x) + f "(x)]

 = –(3x² + 2ax + b + 6x + 2a)

= –[3x² + (2a + 6)x +  b + 2a]

Do đó ta có:

⇔fx−gx−6gx+6=0

⇔–3x2+2a+6x+ b+2a−6gx+6=0

⇔3x2+2a+3x+2a+b+6gx+6=0

⇔g'xgx+6=0

 

Û g '(x) = 0

⇔x=x1x=x2

 

Þ S = ∫x1x2g'(x)g(x)+6dx = ln|g(x)+6|x1x2 

= |ln|g(x₂) + 6| – ln|g(x₁) + 6||

= |ln(−4 + 6) – ln(2 + 6)|

= |ln2 – ln8|

= ln8 – ln2

= 3ln2 – ln2

= 2ln2

Vậy diện tích cần tìm là 2ln2.