Cho hàm số f(x) = x^3 - 3x^2

a) Đúng. \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).

b) Sai. Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Qua \(x = 0\), đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và qua \(x = 2\), đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).

c) Đúng. Các giá trị cần tính: \(f\left( 0 \right) = 0\); \(f\left( 2 \right) = {2^3} - 3 \cdot {2^2} = - 4\); \(f\left( 4 \right) = {4^3} - 3 \cdot {4^2} = 64 - 48 = 16\).

Giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) chính là \(f\left( 4 \right) = 16\).

d) Sai. Biến đổi mẫu số: \(\left( {x - 1} \right){\left( {x - 3} \right)^2}\).

Hàm số: \(y = \frac{{{x^2}\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\).

Phương trình mẫu số triệt tiêu có các nghiệm \(x = 1\) và \(x = 3\) (đều không là nghiệm tử số).

Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là \(x = 1\) và \(x = 3\). Mệnh đề bảo có 1 tiệm cận đứng là sai.