Cho hàm số f(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 1\).

27/235

Cho hàm số $f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 1$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$. Giá trị của biểu thức $T = {M^2} - {m^2}$ là

26.

24.

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$. Tìm các điểm ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}$ trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ mà tại đó $f'\left( x \right)$ bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 2: Tính $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right), \ldots ,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$.

Bước 3: Tìm số lớn nhất $M$ và số nhỏ nhất $m$ trong các số vừa tính ở bước 2. Ta có: $Cho hàm số f(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 1\). (ảnh 1)$

Lời giải

Xét hàm số $f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 1$ trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$.

$f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x = {0_{\left( l \right)}} \vee x = {2_{\left( n \right)}}$.

Ta có $f\left( 1 \right) = 3;f\left( 2 \right) = 5;f\left( 3 \right) = 1$. Do đó $Cho hàm số f(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 1\). (ảnh 2)$

Vậy $T = {M^2} - {m^2} = {5^2} - {1^2} = 24$.