Cho hàm số f(x) = x^3 - 3x + 1

a) Sai. Tìm đạo hàm của hàm số: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 1\).

Lập bảng xét dấu của đạo hàm cho thấy: Trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\), đạo hàm \(f'\left( x \right) < 0\) nên hàm số nghịch biến.

b) Sai. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm \(x = 1\), do đó \(x = 1\) mới là điểm cực tiểu của hàm số. Tại điểm \(x = - 1\) đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên là điểm cực đại.

c) Đúng. Hai điểm cực trị của hàm số là \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = 1\). Tích của chúng là \({x_1} \cdot {x_2} = \left( { - 1} \right) \cdot 1 = - 1\).

d) Đúng. Xét đồ thị hàm số mới \(y = f\left( x \right) + 1 = {x^3} - 3x + 2\).

Với điểm cực đại \(x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 2 = 4 \Rightarrow A\left( { - 1;4} \right)\).

Với điểm cực tiểu \(x = 1 \Rightarrow y = {1^3} - 3 \cdot 1 + 2 = 0 \Rightarrow B\left( {1;0} \right)\).

Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị \(AB\) là:

\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 16} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \).