Cho hàm số f(x) = { (x^2017 + x − 2)/(căn bậc hai của (2019x + 1) − căn bậc hai của (x + 2019)) khi x ≠ 1 m khi x = 1 }. Giá trị của m để hàm số f(x) liên tục tại x = 1 có dạng m = 2/căn bậc

25/25

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^{2017}} + x - 2}}{{\sqrt {2019x + 1} - \sqrt {x + 2019} }}\,\,khi\,\,x \ne 1\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.$. Giá trị của m để hàm số f(x) liên tục tại x = 1 có dạng m = $2\sqrt n $. (biết n $\in$ ℕ^*). Giá trị của n là:

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2020.

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^{2017}} + x - 2}}{{\sqrt {2019x - 1} - \sqrt {x + 2019} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {\left( {{x^{2017}} - 1} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right] \cdot \left( {\sqrt {2019x + 1} + \sqrt {x + 2019} } \right)}}{{\left( {2019x + 1} \right) - \left( {x + 2019} \right)}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left[ {\frac{{{x^{2017}} - 1}}{{x - 1}} + 1} \right] \cdot \left( {\sqrt {2019x + 1} + \sqrt {x + 2019} } \right)}}{{2018\left( {x - 1} \right)}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{x^{2016}} + {x^{2015}} + ... + x + 1} \right)\left( {\sqrt {2019x + 1} + \sqrt {x + 2019} } \right)}}{{2018}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2019x + 1} + \sqrt {x + 2019} }}{{2018}}\]

$ = \frac{{2017\sqrt {2020} }}{{1009}} + \frac{{\sqrt {2020} }}{{1009}} = 2\sqrt {2020} $.

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì m = $2\sqrt {2020} $ $\Rightarrow$ n = 2020.

Do đó, giá trị của n = 2020.