Cho hàm số f(x) = { x^2 + x + 1 khi x ≤ −1 x + 2 khi −1 < x < 1 2x + 3 khi x ≥ 1 }. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Trên khoảng (-$\infty$; -1), ta có: f(x) = x² + x + 1. Vì hàm số liên tục trên khoảng (-$\infty$; -1) nên hàm số liên tục tại điểm x =-2.

b) Sai. Trên khoảng (-1; 1), ta có: f(x) = x + 2. Vì hàm số liên tục trên khoảng (-1; 1) nên hàm số liên tục tại điểm x = 0.

c) Đúng. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = f\left( { - 1} \right) = 1\];

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + 2} \right) = 1\). Suy ra hàm số liên tục tại x =-1.

d) Sai. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 3} \right) = 5\]. Suy ra hàm số không liên tục tại x = 1.