Cho hàm số f(x) = { −x^2 khi x ≤ 1 (x^2 − 3x + 2)/(x^2 − 1) khi x > 1 } và g(x) = x^2 − 3x + 1. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: \[f\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}\] và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - x}}{2} = - \frac{1}{2}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\).

Vậy \(f\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\).

b) Đúng. Ta có: g(1) =-1 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = - 1\) nên \(g\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\).

Vậy hàm số g(x) liên tục tại điểm x₀ = 1.

c) Sai. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\)

d) Đúng. Hàm số g(x) liên tục tại điểm x₀ = 1.

Hàm số f(x) liên tục tại điểm x₀ = 1.

Nên hàm số y = f(x) + g(x) liên tục tại điểm x₀ = 1.