Cho hàm số f(x) = { x^2 − 4x + 1 khi x < 2 5 khi x ≥ 2 }. Biết (a; +∞) là khoảng lớn nhất mà trên đó hàm số liên tục. Khi đó, a bằng:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2.

Với x < 2, f(x) = x² – 4x + 1, là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng (-$\infty$; 2).

Với x > 2, f(x) = 5, là hàm hằng nên liên tục trên khoảng (2; +$\infty$).

Tại x = 2, ta có: f(2) = 5.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - 4x + 1} \right) = - 3\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 5 = 5\).

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) không tồn tại.

Suy ra hàm số không liên tục tại x = 2.

Vì hàm số gián đoạn tại x = 2 nên khoảng lớn nhất có dạng (2; +$\infty$). Do đó, a = 2.